Cosa sono le forme bilineari?

Sia $V$ uno spazio vettoriale reale, una forma bilineare $\left< \, ,\right>$ su $V$ è una funzione a valori reali dal prodotto cartesiano $V\times V$ ad $\mathbb{R}$ lineare per entrambe le variabili, cioè deve sia essere vero che:

Sia che:

Per ogni $v,v_1,v_2,w,w_1,w_2$ vettori di $V$ ed ogni scalare $r$ di $\mathbb{R}.$

Ovviamente abbiamo spostato lo scalare davanti quando stava moltiplicando la prima variabile e dietro quando stava moltiplicando la seconda soltanto per convenzione, siccome sono tutti numeri reali vale la proprietà commutativa quindi è la stessa cosa.

Forse non lo avrete ancora notato, ma il prodotto scalare è proprio una forma bilineare, anzi è la forma bilineare per eccellenza.

Lasciamo il verificare le condizioni come esercizio per il lettore.

Se dunque indichiamo con $\left< \, , \right>$ il prodotto scalare, allora avremo:

$\left< v\, ,w \right> = v^t w$

Dove ovviamente $v^t$ sarebbe il vettore trasposto di $v.$

In generale, se $V$ ha dimensione $n,$ possiamo aggiungere una matrice $A \, \, n\times n$ a moltiplicare in mezzo al prodotto ottenendo sempre una forma bilineare.

Se chiamiamo, quindi, $X$ ed $Y$ i vettori coordinate di $v$ e $w$ in generale avremo:

$\left< v , w \right> = X^t A Y$

In questo caso, ovviamente, $\left< v, w \right>$ non indicherà più il prodotto scalare ammenochè $A = I.$

Talvolta potremmo avere una forma bilineare e voler trovare la matrice della forma rispetto ad una base $\textbf{B} = (v_1,...,v_n)$ , come fare?

Si nota facilmente che basterrà inserire nell'entrata $a_{ij}$ di $A$ il risultato di $\left< v_i, v_j \right>.$

Una forma bilineare è detta simmetrica se $\left< v, w\right> =\left< w,v \right>$ mentre è detta antisimmetrica se $\left< v,w\right> = - \left< w,v \right>$

Notiamo che una forma bilineare è simmetrica se e solo se la sua matrice $A$ è anch'essa simmetrica ( $A^t = A$ ).

Infatti, se $A^t = A,$ allora, siccome possiamo vedere un numero come una matrice $1\times 1$ e questa tipologie di matrici sono sempre simmetriche, dobbiamo avere:

$\left< v , w\right > = X^t A Y$ $= (X^t A Y)^t = Y^t A^t X$ $= Y^t A X = \left < w,v \right >.$

E d'altra parte, siccome avevamo detto che $a_{ij} = \left< v_i, v_j \right>,$ allora deve essere vero che $a_{ji} = \left< v_j, v_i \right> = \left< v_i, v_j \right> = a_{ij}$ e dunque se la forma è simmetrica, anche la matrice è simmetrica.

Spesso può essere utile sapere come cambia $A$ al variare della base $\textbf{B}.$

Vediamo come si calcola la nuova base a seguito di un cambiamento di base tramite una matrice $P:$

Avremo dunque $\textbf{B}' = BP.$

Siccome $v = BX$ e $v = B'X',$ avremo:

$X = P X'$

e per lo stesso ragionamento avremo anche $Y = PY'.$

Dunque avremo:

$\left < v , w \right > = X^t A Y = (PX')^t A (PY') = X'^t (P^t A P ) Y'$

E quindi la nuova matrice sarà $A' = P^t A P.$

Questo ci dice che tutte le matrici che rappresentano la stessa forma bilineare di $A$ ma rispetto ad altre basi, sono quelle riscrivibili come $P^tAP,$ per qualche matrice $P.$