Cos'è una forma hermitiana?

Dopo aver studiato le forme bilineari (clicca qui per ripassarle) per gli spazi vettoriali reali, possiamo passare a vedere le loro analoghe negli spazi vettoriali complessi.

Definiamo, infatti, una forma hermitiana $\left < , \right >$ una mappa da $V\times V$ a $\mathbb{C}$ che è antilineare nella prima variabile, lineare nella seconda ed hermitiana simmetrica, cioè se:

Se non è rispettata l'ultima condizione, si dice che è una forma sesquilineare.

Dalla terza condizione otteniamo che $\left < v,v \right > = \overline{\left < v , v\right >}$ e questo ci dice che $\left < v,v \right >$ è un numero reale.

Definiamo la forma hermitiana standard come la seguente:

$\left < X, Y \right > = X^*Y = \bar{x_1} y_1 +$ $+ \bar{x_2} y_2 + ... + \bar{x_n} y_n$ $= \underset{i}{\sum} \bar{x_i} y_i$

Che infatti assomiglia molto al prodotto scalare, ma questa volta prendiamo il coniugato.

Ma perché abbiamo introdotto il coniugato? Perché in questo modo quando facciamo $\left < X , X \right >,$ come si nota facilmente, otteniamo sempre un numero reale, come imposto dalla terza condizione.

Ovviamente esistono altre forme hermitiane, ma questa è la più comune da utilizzare, per questo è detta standard.

Nella formula qui sopra, $X^*$ rappresenta il coniugato trasposto di $X.$ Allo stesso modo, se scriviamo $A^*,$ intendiamo dire la matrice aggiunta di $A,$ cioè il trasposto coniugato.

Una matrice $A$ tale che $A^* = A$ è detta hermitiana, o autoaggiunta.

Per esempio, la matrice $\left[ \begin{array}{l} 1 & i \\ -i & 9 \end{array}\right]$ è hermitiana.

Si dimostra facilmente che affinchè una matrice sia hermitiana dobbiamo avere $a_{ji} = \overline{a_{ij}}$ e dunque le entrate della diagonale principale devono essere numeri reali.

Probabilmente avrete capito che non è una coincidenza che queste matrici si chiamino hermitiane.

Prima di vedere il legame tra forme hermitiane e matrici hermitiane, però, definiamo che cos'è la matrice di una forma hermitiana rispetto ad una base $\textbf{B} = (v_1,...,v_n).$

Lo si fa esattamente come avevamo fatto per le forme bilineari, cioè si definisce la matrice $A$ come $A = (a_{ij})$ dove $a_{ij} = \left < v_i , v_j \right >.$

Dimostriamo quindi che se $\left < , \right >$ è hermitiana, allora $\left < v,w \right > = X^* A Y,$ dove $X$ e $Y$ sono i due vettori coordinate rispetto ad una base $B$ ed $A$ è una matrice hermitiana e che se $A$ è una matrice hermitiana, allora $\left < v,w \right >= X^* A Y$ è una forma hermitiana.

Per farlo, notiamo che (con $\textbf{B}$ ed $A$ definite come due righe sopra) $\left < v,w \right> = \left <\underset{i}{\sum} v_i x_i, \underset{j}{\sum}v_j y_j \right >$ $= \underset{i,j}{\sum} \overline{x_i} \left < v_i, v_j \right > y_j$ $= \underset{i,j}{\sum} \overline{x_i} a_{ij} y_j = X^* A Y$

Si può, infine, notare che se $A$ è hermitiana, allora:

E dunque $X^*AY$ è una forma hermitiana, come volevasi dimostrare.